Question

3．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，O為坐標原點，P是雙曲線在第一象限上的點，直線PO，PF₂分別交雙曲線C左、右支于另一點M，N，|PF₁|=2|PF₂|，且∠MF₂N=60°，則雙曲線C的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{7}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由題意，|PF₁|=2|PF₂|，|PF₁|-|PF₂|=2a，可得|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，由∠MF₂N=60°，可得∠F₁PF₂=60°，由余弦定理可得4c²=16a²+4a²-2•4a•2a•cos60°，即可求出雙曲線C的離心率．

解答 解：由題意，|PF₁|=2|PF₂|，|PF₁|-|PF₂|=2a，
∴|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，
∵∠MF₂N=60°，∴∠F₁PF₂=60°，
由余弦定理可得4c²=16a²+4a²-2•4a•2a•cos60°，
∴c=$\sqrt{3}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線C的離心率，考查余弦定理，考查學生的計算能力，屬于中檔題．