Question

8．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的2倍，點(diǎn)（-1，-$\frac{3}{2}$）在橢圓C上，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，直線PF₁，PF₂交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，$\overrightarrow{{F}_{1}A}$=λ$\overrightarrow{P{F}_{1}}$，$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=μ$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，求λ+μ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意知a=2c，b=$\sqrt{3}c$，從而可得$\frac{（-1）^{2}}{4{c}^{2}}$+$\frac{（-\frac{3}{2}）^{2}}{3{c}^{2}}$=1，從而解得；
（2）設(shè)P（x，y），A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），F(xiàn)₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）；從而可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{A}=-λ-λx-1}\\{{y}_{A}=-λy}\end{array}\right.$，從而化簡(jiǎn)可得（2x+5）λ²+（2x+2）λ-3=0，從而解得λ=$\frac{3}{2x+5}$；同理u=$\frac{3}{-2x+5}$，從而解得．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的2倍，
∴a=2c，b=$\sqrt{3}c$，
∴$\frac{（-1）^{2}}{4{c}^{2}}$+$\frac{（-\frac{3}{2}）^{2}}{3{c}^{2}}$=1，
解得，c=1，a=2，b=$\sqrt{3}$，
故橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）設(shè)P（x，y），A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），
F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）；
∵$\overrightarrow{{F}_{1}A}$=λ$\overrightarrow{P{F}_{1}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{A}+1=-λ-λx}\\{{y}_{A}=-λy}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{A}=-λ-λx-1}\\{{y}_{A}=-λy}\end{array}\right.$，
又∵$\frac{{{x}_{A}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{A}}^{2}}{3}$=1，$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
∴（2x+5）λ²+（2x+2）λ-3=0，
∴λ=$\frac{3}{2x+5}$或λ=-1（舍去）；
又∵$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=μ$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，
∴同理可得，
u=$\frac{3}{-2x+5}$，
∴λ+μ=$\frac{3}{2x+5}$+$\frac{3}{-2x+5}$
=$\frac{30}{25-4{x}^{2}}$∈（$\frac{10}{13}$，$\frac{6}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用．