Question

14．設變量x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤1}\\{x+y≥2}\\{y≤2}\end{array}\right.$，則目標函數(shù)z=x²+y²的取值范圍是[2，13]．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，z=x²+y²可看作可行域內(nèi)的點到原點的距離的平方，數(shù)形結(jié)合求得目標函數(shù)z=x²+y²的取值范圍．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤1}\\{x+y≥2}\\{y≤2}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{x-y=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$．
z=x²+y²可看作可行域內(nèi)的點到原點的距離的平方，從而有
${z}_{min}=（\frac{|0+0-2|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}）^{2}=2$，${z}_{max}={3}^{2}+{2}^{2}=13$，
∴z∈[2，13]．
故答案為：[2，13]．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．