Question

在平面直角坐標系xOy中，已知P是函數(shù)f（x）=e^x（x＞0）的圖象上的動點，該圖象在點P處的切線l交y軸于點M，過點P作l的垂線交y軸于點N，設線段MN的中點的縱坐標為t，則t的最大值是

 

．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：先設切點坐標為（m，e^m），然后根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=m處的導數(shù)，從而求出切線的斜率，求出切線方程，從而求出點M的縱坐標，同理可求出點N的縱坐標，將t用m表示出來，最后借助導數(shù)的方法求出函數(shù)的最大值即可．

解答： 解：設切點坐標為（m，e^m）．
∴該圖象在點P處的切線l的方程為y-e^m=e^m（x-m）．
令x=0，解得y=（1-m）e^m．
過點P作l的垂線的切線方程為y-e^m=-e^-m（x-m）．
令x=0，解得y=e^m+me^-m．
∴線段MN的中點的縱坐標為t=

1

2

[（2-m）e^m+me^-m]．
t'=

1

2

[-e^m+（2-m）e^m+e^-m-me^-m]，令t'=0解得：m=1．
當m∈（0，1）時，t'＞0，當m∈（1，+∞）時，t'＜0．
∴當m=1時t取最大值

1

2

（e+e^-1）．
故答案為：

1

2

（e+e^-1）．

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．