Question

16．已知函數f（x）=-$\sqrt{2}$${x}^{\frac{3}{4}}$+alnx-4（a∈R），函數f（x）的圖象在點P（1，f（1））處的切線的傾斜角為θ，若sinθ=$\frac{1}{3}$，則a=$\sqrt{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 求出f（x）的導數，求得切線的斜率，由直線的斜率公式和同角的基本關系式，即可得到所求值．

解答 解：f（x）=-$\sqrt{2}$${x}^{\frac{3}{4}}$+alnx-4的導數為
f′（x）=-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$${x}^{-\frac{1}{4}}$+$\frac{a}{x}$，
在點P（1，f（1））處的切線斜率為a-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
由題意可得tanθ=a-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
由sinθ=$\frac{1}{3}$，cosθ=±$\sqrt{1-\frac{1}{9}}$=±$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
即tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=±$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
可得a=$\sqrt{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查導數的運用：求切線的斜率，考查導數的幾何意義，同時考查直線的斜率公式以及同角的基本關系式，屬于中檔題．