Question

1．在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=BB₁=1，直線B₁C與底面ABC成30°角
（1）求證：A₁C₁∥截面AB₁C；
（2）求點A₁到截面AB₁C的距離；
（3）設(shè)點E為CC₁中點，求異面直線AE與BC₁所成角的大�。�

Answer 1

分析 （1）由A₁C₁∥AC，能證明A₁C₁∥截面AB₁C．
（2）以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明點A₁到截面AB₁C的距離，
（3）求出$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{B{C}_{1}}$，利用向量法能求出異面直線AE與BC₁所成角的大小．

解答 證明：（1）∵在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁C₁∥AC，
A₁C₁?截面AB₁C，AC?截面AB₁C，
∴A₁C₁∥截面AB₁C．
解：（2）以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵∠BAC=90°，AB=BB₁=1，直線B₁C與底面ABC成30°角，
∴B₁C=2，BC=$\sqrt{3}$，AC=$\sqrt{2}$，
∴A₁（0，0，1），A（0，0，0），B₁（1，0，1），C（0，$\sqrt{2}$，0），
$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，1），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（1，0，1），$\overrightarrow{AC}$=（0，$\sqrt{2}$，0），
設(shè)截面AB₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+z=0}\\{\sqrt{2}y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1），
∴點A₁到截面AB₁C的距離：
d=$\frac{|\overrightarrow{A{A}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（3）E（0，$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{AE}$=（0，$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$），C₁（0，$\sqrt{2}，1$），B（1，0，0），
$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-1，$\sqrt{2}$，1），
設(shè)異面直線AE與BC₁所成角的大小為θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{B{C}_{1}}|}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$=$\frac{2+\frac{1}{2}}{\sqrt{2+\frac{1}{2}}•\sqrt{4}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$
∴異面直線AE與BC₁所成角的大小為$\frac{\sqrt{10}}{4}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查點到平面的距離的求法，考查異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解時要認真審題，注意向量法的合理運用．