Question

8．設(shè)函數(shù)g（x）=e^x+2x-a（a∈R，e為自然對(duì)數(shù)底數(shù)），定義在R上函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：f（-x）+f（x）=x²，且當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜x，若存在x₀∈{x|f（x）+$\frac{1}{2}$≥f（1-x）+x}．使g[g（x₀）]=x₀，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤$\sqrt{e}$+$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 構(gòu)造新的函數(shù)，將f（x）轉(zhuǎn)化為可以知道性質(zhì)的函數(shù)，將x₀的范圍確定出來(lái)，再處理g（x），由性質(zhì)確定出a的范圍．

解答 解：∵f（-x）+f（x）=x²
∴令F（x）=f（x）-$\frac{1}{2}{x}^{2}$，
∴f（x）-$\frac{1}{2}{x}^{2}$=-f（-x）+$\frac{1}{2}$x²
∴F（x）=-F（-x），即F（x）為奇函數(shù)，
∵F′（x）=f′（x）-x，
且當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜x，
∴F′（x）＜0對(duì)x＜0恒成立，
∵F（x）為奇函數(shù)，
∴F（x）在R上單調(diào)遞減，
∵f（x）+$\frac{1}{2}$≥f（1-x）+x，
∴f（x）+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}{x}^{2}$≥f（1-x）+x-$\frac{1}{2}{x}^{2}$，
即F（x）≥F（1-x），
∴x≤1-x，
x₀≤$\frac{1}{2}$，
由g[g（x₀）]=x₀可得g（x₀）=g^-1（x₀），
而g（x）如果與其反函數(shù)相交，則交點(diǎn)一定在直線(xiàn)y=x上，
故有g(shù)（x₀）=x₀，
即h（x）=e^x+x-a=0在（-∞，$\frac{1}{2}$]有解．
∵h(yuǎn)′（x）=e^x+1，
∴h（x）在R上單調(diào)遞增．
∴h（x）_max=h（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$+$\frac{1}{2}$-a≥0即可，
∴a≤$\sqrt{e}$+$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)f（x）那個(gè)式子的處理，重新構(gòu)造新的函數(shù)，通過(guò)新函數(shù)確定x₀的范圍，再來(lái)確定a的范圍．