Question

7．已知在△ABC中，三邊a，b，c的對(duì)角分別為A，B，C，滿足a²+b²=3c²，則$\frac{2tanAtanB}{tanC（tanA+tanB）}$=2．

Answer 1

分析 通過(guò)余弦定理以及正弦定理，以及兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，把正弦函數(shù)余弦函數(shù)化為正切，即可得到結(jié)果．

解答 解：在△ABC中，∵a²+b²=3c²，由余弦定理a²+b²-2abcosC=c²，可得：abcosC=c²，即：$\frac{abcosC}{{c}^{2}}$=1，
∴由正弦定理可得，$\frac{sinAsinBcosC}{sin（A+B）sinC}$=1，可得：$\frac{sinAsinBcosC}{（sinAcosB+cosAsinB）sinC}$=1，
∴分子，分母同時(shí)除以cosAcosBcosC，可得：$\frac{tanAtanB}{（tanA+tanB）tanC}$=1，
∴$\frac{2tanAtanB}{tanC（tanA+tanB）}$=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，式子變形是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)．