Question

7．若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為$\sqrt{3}$，則三棱錐的體積與其外接球體積之比是$\frac{\sqrt{3}}{9π}$．

Answer 1

分析 三棱錐為正三棱錐，利用勾股定理計(jì)算外接球的半徑，代入體積公式求出三棱錐和外接球的體積即可得出體積比．

解答 解：設(shè)三棱錐S-ABC，則SA，SB，SC兩兩垂直，SA=SB=SC=$\sqrt{3}$，
∴SA⊥平面SBC，
∴V_S-ABC=V_A-SBC=$\frac{1}{3}{S}_{△SBC}•SA$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵SA=SB=SC=$\sqrt{3}$，且SA，SB，SC兩兩垂直，
∴AB=BC=AC=$\sqrt{6}$，即△ABC為等邊三角形．
設(shè)△ABC的中心為O，連接OS，則OS⊥平面ABC，
設(shè)三棱錐外接球的球心為M，則M在直線OS上，
∵OC=$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{6}$=$\sqrt{2}$，∴OS=$\sqrt{S{C}^{2}-O{C}^{2}}$=1，
設(shè)外接圓半徑為r，則MS=MC=r，OM=r-1，
∵OM²+OC²=MC²，
∴（r-1）²+2=r²，解得r=$\frac{3}{2}$．
∴V_外接球=$\frac{4}{3}π{r}^{3}$=$\frac{9π}{2}$．
∴$\frac{{V}_{S-ABC}}{{V}_{外接球}}$=$\frac{\sqrt{3}}{9π}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{9π}$．

點(diǎn)評 本題考查了棱錐與外接球的關(guān)系，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．