Question

3．設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知對任意正整數(shù)n，都有S_n+2=2a_n成立．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設${b_n}=\frac{2n-1}{a_n}（n∈{N^*}）$，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求證：T_n＜3．

Answer 1

分析 （1）通過S₁+2=2a₁可知a₁=2．通過S_n+2=2a_n與S_n+1+2=2a_n+1作差、整理可知數(shù)列{a_n}是公比為2的等比數(shù)列，進而計算可得結論；
（2）通過${b_n}=\frac{2n-1}{2^n}$寫出T_n、$\frac{1}{2}$T_n的表達式，利用錯位相減法計算即得結論．

解答 （1）解：當n=1時，S₁+2=2a₁，所以a₁=2．
因為S_n+2=2a_n，則S_n+1+2=2a_n+1．
兩式相減，得S_n+1-S_n=2（a_n+1-a_n），
即a_n+1=2（a_n+1-a_n），即a_n+1=2a_n．
所以數(shù)列{a_n}是首項為2、公比為2的等比數(shù)列，
故${a_n}={2^n}$．
（2）證明：∵${b_n}=\frac{2n-1}{2^n}$，
∴${T_n}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+…+\frac{2n-1}{2^n}$．①
$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{5}{2^4}+…+\frac{2n-3}{2^n}+\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$．②
①-②，得$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{2}{2^3}+…+\frac{2}{2^n}-\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$
=$\frac{1}{2}+（1-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}）-\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}=\frac{3}{2}-\frac{2n+3}{{{2^{n+1}}}}$．
∴${T_n}=3-\frac{2n+3}{2^n}$．
∵$\frac{2n+3}{2^n}＞0$，
∴T_n＜3．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．