Question

11．下列結(jié)論正確的是（　　）

• A． 當(dāng)$x∈（0，\frac{π}{2}）$時(shí)，$sinx+\frac{1}{sinx}≥2$
• B． 當(dāng)x＞0時(shí)，$\sqrt{x}+\frac{1}{{\sqrt{x}}}≥2$
• C． 當(dāng)x≥2時(shí)，$x+\frac{1}{x}$的最小值為2
• D． 當(dāng)0＜x≤2時(shí)，$x-\frac{1}{x}$無(wú)最大值

Answer 1

分析 A．當(dāng)$x∈（0，\frac{π}{2}）$時(shí)，sinx∈（0，1），利用基本不等式的性質(zhì)即可判斷出正誤．
B．當(dāng)x＞0時(shí)，利用基本不等式的性質(zhì)即可判斷出正誤．
C．令f（x）=x+$\frac{1}{x}$，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可判斷出正誤．
D．令f（x）=x-$\frac{1}{x}$，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可判斷出正誤．

解答 解：A．當(dāng)$x∈（0，\frac{π}{2}）$時(shí)，sinx∈（0，1），∴$sinx+\frac{1}{sinx}$＞2，因此等號(hào)不成立；
B．當(dāng)x＞0時(shí)，$\sqrt{x}+\frac{1}{{\sqrt{x}}}≥2$$\sqrt{\sqrt{x}•\frac{1}{\sqrt{x}}}$=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，因此正確；
C．令f（x）=x+$\frac{1}{x}$，∵x≥2，∴${f}^{′}（x）=1-\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$＞0，∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，∴f（x）≥f（2）=$\frac{5}{2}$＞2，因此不正確．
D．令f（x）=x-$\frac{1}{x}$，∵0＜x≤2，∴f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，∴f（x）≤f（2）=$\frac{3}{2}$，為最大值，因此不正確．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．