Question

【題目】已知設(shè)函數(shù).

（1）若，求極值；

（2）證明：當(dāng)，時(shí)，函數(shù)在上存在零點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）取得極大值0，無(wú)極小值（2）見(jiàn)證明

【解析】

（1）通過(guò)求導(dǎo)得到，求出的根，列表求出的單調(diào)區(qū)間和極值.

（2）對(duì)進(jìn)行分類，當(dāng)時(shí)，通過(guò)對(duì)求導(dǎo)，得到在單調(diào)遞減，找到其零點(diǎn)，進(jìn)而得到的單調(diào)性，找到，，可證在上存在零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，根據(jù)（1）得到的結(jié)論，對(duì)進(jìn)行放縮，得到，再由，可證在上存在零點(diǎn).

（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?/span>，由得．

當(dāng)變化時(shí)，， 的變化情況如下表：

		極大值

故當(dāng)時(shí)，取得極大值，無(wú)極小值．

（2），．

當(dāng)時(shí)，因，所以，

在單調(diào)遞減．

因?yàn)?/span>，，

所以有且僅有一個(gè)，使，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．

所以，而，

所以在存在零點(diǎn)．

當(dāng)時(shí)，由（1）得，

于是，所以．

所以．

于是．

因?yàn)?/span>，所以所以在存在零點(diǎn)．

綜上，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)在上存在零點(diǎn)．