Question

7．已知：如圖，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，延長AI交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，求證：點(diǎn)D是△BCI的外心．

Answer 1

分析 欲證點(diǎn)D是△BCI的外心，只需要證明DB=DI=DC即可．

解答 證明：∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，延長AI交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，
∴∠DBI=∠DBC+∠CBI=∠DAC+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$∠ABC，
∠BID=∠BAD+∠ABI=$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠DBI=∠BID，DB=DI，
又∠DBC=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∠BCD=∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∠DBC=∠BCD，DB=DC，
∴DB=DI=DC，
∴D是△BCI的外心．

點(diǎn)評 本題考查點(diǎn)是三角形外心的證明，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意三角形的內(nèi)心的性質(zhì)的合理運(yùn)用．