Question

15．在銳角三角形ABC中，AD是BC邊上的高，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F(xiàn)是垂足，求證：E，B，C，F(xiàn)四點共圓．

Answer 1

分析 由已知條件利用三角形相似推導出AD²=AB•AE，AD²=AF•AC，從而得到$\frac{AE}{AF}=\frac{AC}{AB}$，再由∠BAC=∠BAC，得到△AEF∽△ACB，由此能證明E、B、C、F四點共圓．

解答 證明：∵AD⊥BC，DE⊥AB，
∴∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠BAD=90°，
∴∠B=∠ADE，
又∠BAD=∠BAD，∴△ADE∽△ABD，
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AD}$，∴AD²=AB•AE，
同理：AD²=AF•AC，
∴AB•AE=AF•AC，
∴$\frac{AE}{AF}=\frac{AC}{AB}$，
又∠BAC=∠BAC，∴△AEF∽△ACB，
∴∠AEF=∠C，
∴E、B、C、F四點共圓．

點評 本題考查四點共圓的證明，是基礎題，解題時要認真審題，注意三角形相似的判定定理和性質定理的合理運用．