Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，，，分別是，中點(diǎn)，為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，證明：.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析.（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）取中點(diǎn)，連，可證四邊形為平行四邊形，得到，即可證明結(jié)論；

（2）不妨設(shè)，如下圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，得到坐標(biāo)， 求出平面的法向量坐標(biāo)，取平面法向量為，根據(jù)已知求出，證明即可.

（1）如圖，取中點(diǎn)，連，

因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，所以，

在直三棱柱中，，

因?yàn)?/span>是中點(diǎn)，所以，

所以四邊形為平行四邊形，，

因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面；

（2）不妨設(shè)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，，，，

所以，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，即，令，

所以平面的一個(gè)法向量，

平面的一個(gè)法向量，

所以，

此時(shí)，，

所以，即.