Question

已知函數(shù)f（x）=x²-mx+m-1．
（1）當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，f（x）≥-1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）是否存在整數(shù)a，b（a＜b），使得關(guān)于x的不等式a≤f（x）≤b的解集為{x|a≤x≤b}？若存在，求出a，b的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次不等式的解法,二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)f（x）=x²-mx+m-1=(x-

m

2

)2-

m2

4

+m-1．對(duì)

m

2

與2，4的關(guān)系分類討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（2）假設(shè)存在整數(shù)a，b（a＜b），使得關(guān)于x的不等式a≤f（x）≤b的解集為{x|a≤x≤b}．即a≤x²-mx+m-1≤b的解集為{x|a≤x≤b}．可得f（a）=a，f（b）=b．即x²-mx+m-1=x的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為a，b．即可得出．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=x²-mx+m-1=(x-

m

2

)2-

m2

4

+m-1．
①當(dāng)

m

2

≤2，即m≤4時(shí)，函數(shù)f（x）在x∈[2，4]單調(diào)遞增，
∵f（x）≥-1恒成立，∴f（2）=-m+3≥-1，解得m≤4．
∴m≤4滿足條件．
②當(dāng)

m

2

≥4，即m≥8時(shí)，函數(shù)f（x）在x∈[2，4]單調(diào)遞減，
∵f（x）≥-1恒成立，∴f（4）=-3m+15≥-1，解得m≤

16

3

．
∴不滿足m≥8，應(yīng)該舍去．
③當(dāng)2＜

m

2

＜4，即4＜m＜8時(shí)，當(dāng)x=

m

2

時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，
∵f（x）≥-1恒成立，∴f（

m

2

）=-

m2

4

+m-1≥-1，解得0≤m≤4，不滿足4＜m＜8，應(yīng)舍去．
綜上可得：實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，4]．
（2）假設(shè)存在整數(shù)a，b（a＜b），使得關(guān)于x的不等式a≤f（x）≤b的解集為{x|a≤x≤b}．
即a≤x²-mx+m-1≤b的解集為{x|a≤x≤b}．則f（a）=a，f（b）=b．
∴x²-mx+m-1=x的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為a，b．
∴a+b=m+1，ab=m-1．
當(dāng)b=1時(shí)，a不存在，舍去；
當(dāng)b≠1時(shí)，a=1-

1

b-1

，只有b=2或0時(shí)，可得a=0，2．
又a＜b，
∴存在整數(shù)

a=0 b=2

時(shí)，使得關(guān)于x的不等式a≤f（x）≤b的解集為{x|a≤x≤b}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、“三個(gè)二次”的關(guān)系，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．