Question

已知a＞0，f（x）=x+alnx，若對區(qū)間(

1

2

，1)內(nèi)的任意兩個相異實數(shù)x₁，x₂，恒有|f(x1)-f(x2)|＞|

1

x1

-

1

x2

|，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：將問題轉(zhuǎn)化為

|1+a(lnx1-lnx2)|

x1-x2

＞

1

|x1x2|

（1），x₁，x₂→

1

2

時（1）變?yōu)閨1+2a|＞4，x₁，x₂→1時（1）變?yōu)閨1+a|＞1，解出取交集即可．

解答： 解：已知a＞0，f（x）=x+alnx，
對區(qū)間（

1

2

，1）內(nèi)的任意兩個相異的實數(shù)x₁，x₂，恒有|f（x₁）-f（x₂）|＞|

1

x1

-

1

x2

|，
∴|x₁-x₂+a（lnx₁-lnx₂）|＞|

x1-x2

x1x2

|，
兩邊都除以|x₁-x₂|，
∵|1+

a(lnx1-lnx2)

x1-x2

|＞

1

|x1x2|

，（1）
（lnx）′=

1

x

∈（1，2），
∴

lnx1-lnx2

x1-x2

∈（1，2），
x₁，x₂→

1

2

時（1）變?yōu)閨1+2a|＞4，
2a+1＞4，或2a+1＜-4，
a＞

3

2

或a＜-

5

2

；
x₁，x₂→1時（1）變?yōu)閨1+a|＞1，
a+1＞1或a+1＜-1，
a＞0或a＜-2．
求兩者的交集得a＞

3

2

或a＜-

5

2

．
又∵a＞0，
∴a＞

3

2

．

點評：本題考查了求函數(shù)閉區(qū)間上的最值問題，考查了導數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．