【題目】在平面直角坐標系中,定義為兩點的“切比雪夫距離”,又設點上任意一點,稱的最小值為點到直線的“切比雪夫距離”,記作,給出四個命題,正確的是________.

①對任意三點、、,都有;

到原點的“切比雪夫距離”等于的點的軌跡是正方形;

已知點和直線,則

定點、,動點滿足,則點的軌跡與直線為常數(shù))有且僅有個公共點.

【答案】①②③④

【解析】

①討論、、三點共線,以及不共線的情況,結合圖象和新定義,即可判斷;

②運用新定義,求得點的軌跡方程,即可判斷;

③設點是直線上一點,且點,可得,討論的大小,可得距離,再由函數(shù)的性質(zhì),可得最小值;

④討論點在坐標軸上和各個象限的情況,求得軌跡方程,即可判斷.

①對任意三點、、,若它們共線,設、

如下圖,結合三角形相似可得,,,則

、、對調(diào),可得;

、、不共線,且為銳角或鈍角,由矩形或矩形

;

則對任意的三點、,都有,命題①正確;

②到原點的“切比雪夫距離”等于的點,即為,若,則

,則,故所求軌跡是正方形,命題②正確;

③設點是直線上一點,且,可得,

,解得,即有.

時,取得最小值;

,解得,即有,

的取值范圍是,無最值,

所以,、兩點的“切比雪夫距離”的最小值為,命題③正確;

④定點、,動點,滿足

可得不在上,在線段間成立,可得,解得.

由對稱性可得也成立,即有兩點滿足條件;

在第一象限內(nèi),滿足,即為,為射線,

由對稱性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一條射線,

則點的軌跡與直線為常數(shù))有且僅有個公共點,命題④正確.

故答案為:①②③④.

練習冊系列答案
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【題目】如圖,在三棱錐中,,,OAC的中點.

1)證明:平面ABC;

2)若點M在棱BC上,且,求點C到平面POM的距離.

3)若點M在棱BC上,且二面角30°,求PC與平面PAM所成角的正弦值.

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【題目】某公司為了解廣告投入對銷售收益的影響,在若干地區(qū)各投入萬元廣告費用,并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖(如圖所示).由于工作人員操作失誤,橫軸的數(shù)據(jù)丟失,但可以確定橫軸是從開始計數(shù)的. [附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為.]

(1)根據(jù)頻率分布直方圖計算圖中各小長方形的寬度;

(2)試估計該公司投入萬元廣告費用之后,對應銷售收益的平均值(以各組的區(qū)間中點值代表該組的取值);

(3)該公司按照類似的研究方法,測得另外一些數(shù)據(jù),并整理得到下表:

廣告投入 (單位:萬元)

1

2

3

4

5

銷售收益 (單位:萬元)

2

3

2

7

由表中的數(shù)據(jù)顯示, 之間存在著線性相關關系,請將(2)的結果填入空白欄,并求出關于的回歸直線方程.

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【題目】為等差數(shù)列的公差,數(shù)列的前項和,滿足),且,若實數(shù),),則稱具有性質(zhì).

1)請判斷、是否具有性質(zhì),并說明理由;

2)設為數(shù)列的前項和,若是單調(diào)遞增數(shù)列,求證:對任意的,),實數(shù)都不具有性質(zhì);

3)設是數(shù)列的前項和,若對任意的,都具有性質(zhì),求所有滿足條件的的值.

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【題目】在平面直角坐標系中,,,動點滿足:直線與直線的斜率之積恒為,記動點的軌跡為曲線.

1)求曲線的方程;

2)若點位于第一象限,過點分別作直線,直線,直線,交于點.

①若點的橫坐標為-1,求點的坐標;

②直線與曲線交于點,且,求的取值范圍.

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【題目】設函數(shù).

1)當時,證明:在區(qū)間上是增函數(shù);

2)當,函數(shù)的零點個數(shù),并說明理由;

3)求函數(shù)的對稱中心,并說明理由.

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【題目】對于函數(shù),有下列五個命題:

存在反函數(shù),且與反函數(shù)圖象有公共點,則公共點一定在直線上;

上有定義,則一定是偶函數(shù);

是偶函數(shù),且有解,則解的個數(shù)一定是偶數(shù);

是函數(shù)的周期,則,也是函數(shù)的周期;

是函數(shù)為奇函數(shù)的充分不必要條件。

從中任意抽取一個,恰好是真命題的概率為 ( )

A.B.C.D.

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【題目】已知函數(shù),實數(shù)滿足;

1)當函數(shù)的定義域為時,求的值域;

2)求函數(shù)關系式,并求函數(shù)的定義域;

3)在(2)的結論中,對任意,都存在,使得成立,求實數(shù)的取值范圍;

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1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

2)若對任意,都有,求實數(shù)的取值范圍.

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