Question

15．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點P（-1，-1），c為橢圓的半焦距，且c=$\sqrt{2}$b，過點P作兩條互相垂直的直線l₁，l₂與橢圓C分別交于另兩點M，N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l₁的斜率為-1，求△PMN的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意推導出$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}$=1，且c²=2b²，再由a，b，c之間的關系，能求出橢圓C的方程．
（2）由于直線l₁的斜率已確定，則可由其與橢圓聯(lián)立方程組，求出點M的坐標，因兩直線垂直，當k≠0時，用$-\frac{1}{k}$代替k，進而求出點N的坐標，得M（-2，0），N（1，1），再由兩點意距離公式能求出△PMN的面積．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點P（-1，-1），c為橢圓的半焦距，且c=$\sqrt{2}$b，
過點P作兩條互相垂直的直線l₁，l₂與橢圓C分別交于另兩點M，N，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{c}^{2}=2^{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得b²=$\frac{4}{3}$，a²=4．
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}$=1．
（2）設l₁方程為y+1=k（x+1），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+k-1}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
消去y得（1+3k²）x²+6k（k-1）x+3（k-1）²-4=0．
∵P（-1，1），解得M（$\frac{-3{k}^{2}+6k+1}{1+3{k}^{2}}$，$\frac{3{k}^{2}+2k-1}{1+3{k}^{2}}$）．
當k≠0時，用-$\frac{1}{k}$代替k，得N（$\frac{{k}^{2}-6k-3}{3+{k}^{2}}$，$\frac{-{k}^{2}-2k+3}{3+{k}^{2}}$），
將k=1代入，得M（-2，0），N（1，1），
∵P（-1，-1），∴PM=$\sqrt{2}$，PN=2$\sqrt{2}$，
∴△PMN的面積為$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=2．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意點差法的合理運用．