Question

10．橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點為F₁，右焦點為F₂，離心率e=$\frac{1}{2}$．過F₁的直線交橢圓于A，B兩點，且△ABF₂的周長為8．
（1）求橢圓E的方程．
（2）在橢圓E上，是否存在點M（m，n）使得直線l：mx+ny=1與圓O：x²+y²=1相交于不同的兩點P，Q，且△POQ的面積最大？若存在，求出點M的坐標及相對應(yīng)的△POQ的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知得e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，4a=8，由此能求出橢圓E的方程．
（2）當(dāng)∠POQ=90°時，S_△POQ有最大值$\frac{1}{2}$，求出點O到直線AB的距離，從而得到m²+n²=2，又$\frac{m^2}{4}+\frac{n^2}{3}=1$，兩式聯(lián)立，無解，故在橢圓E上，不存在點M（m，n）使得直線l：mx+ny=1與圓O：x²+y²=1相交于不同的兩點P，Q，且△POQ的面積最大．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）∵橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點為F₁，右焦點為F₂，離心率e=$\frac{1}{2}$，
∴$c=\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，∴3a²=4b²，
∵△ABF₂的周長為8，∴4a=8，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
∴橢圓E的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．…（4分）
（2）不存在，理由如下：
在△POQ中，|OP|=|OQ|=1，S_△POQ=|OP|×|OQ|×sin∠POQ
當(dāng)且僅當(dāng)∠POQ=90°時，S_△POQ有最大值$\frac{1}{2}$，
當(dāng)∠POQ=90°時，
點O到直線AB的距離為d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴d=$\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴m²+n²=2，
又$\frac{m^2}{4}+\frac{n^2}{3}=1$，
兩式聯(lián)立，解得：無解，
故在橢圓E上，不存在點M（m，n）使得直線l：mx+ny=1與圓O：x²+y²=1相交于不同的兩點P，Q，且△POQ的面積最大．…（12分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)、點到直線距離公式的合理運用．