Question

6．已知函數(shù)$f（x）=\frac{x^3}{3}-{x^2}-2ax（a∈R）$．
（1）若y=f（x）在（3，+∞）上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若$a=-\frac{1}{2}$，設(shè)g（x）=ln（1-x）+f（x），且方程$g（1-x）=\frac{{{{（1-x）}^3}}}{3}+\frac{x}$有實根，求實數(shù)b的最大值．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)f′（x）=x²-2x-2a≥0在區(qū)間（3，+∞）上恒成立，從而轉(zhuǎn)化為最值問題求解即可；
（2）化簡方程可得$lnx+x-{x^2}=\frac{x}$，從而化為b=x（lnx+x-x²）在（0，+∞）上有解，從而討論函數(shù)p（x）=x（lnx+x-x²）的值域即可．

解答 解：（1）∵f（x）在區(qū)間（3，+∞）上為增函數(shù)，
∴f′（x）=x²-2x-2a≥0，
即2a≤x²-2x在區(qū)間（3，+∞）上恒成立．
∵在（3，+∞）內(nèi)，x²-2x＜3；
∴2a≤3，即$a≤\frac{3}{2}$．
（2）∵$g（1-x）=\frac{{{{（1-x）}^3}}}{3}+\frac{x}$，
∴$lnx+x-{x^2}=\frac{x}$，
∴b=x（lnx+x-x²），
令p（x）=x（lnx+x-x²），
即求函數(shù)p（x）=x（lnx+x-x²）在（0，+∞）上的值域．
令h（x）=lnx+x-x²，
則$h'（x）=\frac{1}{x}+1-2x=\frac{（2x+1）（1-x）}{x}$，
∴當0＜x＜1時，h′（x）＞0，
從而h（x）在（0，1）上為增函數(shù)，
當x＞1時h′（x）＜0，
從而h（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，
因此h（x）≤h（1）=0．
又∵x＞0，
故p（x）=x•h（x）≤0，
∴b≤0，
因此當x=1時，b取得最大值0．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用及方程與函數(shù)的關(guān)系應(yīng)用．