Question

17．已知正項等比數(shù)列{a_n}，其前n項和為S_n，a_k-1=2，a_k•a_k+2=a${\;}_{5}^{2}$=64，則S₁₀等于（　�。�

• A． 4¹⁰-1
• B． $\frac{{4}^{10}-1}{3}$
• C． 2¹⁰-1
• D． $\frac{{2}^{10}-1}{2}$

Answer 1

分析 設正項等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，由于a_k-1=2，a_k•a_k+2=a${\;}_{5}^{2}$=64，可得：a_k+1=${a}_{k-1}{q}^{2}$=2q²，于是64=${a}_{1}^{2}$（q⁴）²=$（{a}_{k+1}）^{2}$=（2q²）²，再利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：設正項等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，
∵a_k-1=2，a_k•a_k+2=a${\;}_{5}^{2}$=64，
∴a_k+1=${a}_{k-1}{q}^{2}$=2q²，
∴64=${a}_{1}^{2}$（q⁴）²=$（{a}_{k+1}）^{2}$=（2q²）²，
解得q=2，a₁=$\frac{1}{2}$．
∴S₁₀=$\frac{\frac{1}{2}[1-{2}^{10}]}{1-2}$=$\frac{{2}^{10}-1}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．