Question

19．已知不等式xy≤ax²+2y²，若對(duì)任意x∈[1，2]及y∈[2，3]，該不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的范圍是（　�。�

• A． -$\frac{35}{9}$≤a≤-1
• B． -3≤a≤-1
• C． a≥-1
• D． a≥-3

Answer 1

分析 本題考查的是不等式與恒成立的綜合類(lèi)問(wèn)題．在解答時(shí)，首先可以游離參數(shù)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：$a≥\frac{y}{x}-2（\frac{y}{x}）^{2}$對(duì)于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，然后解答此恒成立問(wèn)題即可獲得問(wèn)題的解答．

解答 解：由題意可知：不等式xy≤ax²+2y²對(duì)于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，
即：$a≥\frac{y}{x}-2（\frac{y}{x}）^{2}$，對(duì)于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，
令 $\frac{y}{x}$，則1≤t≤3，
∴a≥t-2t²在[1，3]上恒成立，
∵y=-2t²+t=$-2（t-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{1}{8}$，∴y_max=-1，
∴a≥-1
 故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是不等式與恒成立的綜合類(lèi)問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了游離參數(shù)的辦法、恒成立的思想以及整體代換的技巧．值得同學(xué)們體會(huì)與反思．