Question

20．已知f（x）為偶函數(shù)，且f（-1-x）=f（1-x），當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=-x+1，求x∈[5，7]時(shí)，f（x）的解析式．

Answer 1

分析 根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)以及f（-1-x）=f（1-x），求出函數(shù)的周期，利用函數(shù)的周期性、奇偶性，分別求出x∈[5，7]時(shí)f（x）的解析式．

解答 解：因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，且f（-1-x）=f（1-x），
所以f（1+x）=f（1-x），即f（x+2）=f（-x）=f（x），
則f（x）的周期是T=2，
設(shè)x∈[6，7]，則x-6∈[0，1]，
因?yàn)楫?dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=-x+1，
所以f（x-6）=-（x-6）+1=-x+7，則f（x）=-x+7，
設(shè)x∈[5，6），則x-6∈[-1，0），即-（x-6）∈（0，1]，
因?yàn)楫?dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=-x+1，
所以f[-（x-6）]=（x-6）+1=x-5，
則f（x）=f（x-6）=f[-（x-6）]=x-5，
所以f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-5，x∈[5，6）}\\{-x+7，x∈[6，7]}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性的綜合應(yīng)用，以及分類討論思想，屬于中檔題．