Question

如圖，設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的上頂點(diǎn)為A，左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，線段OF₁，OF₂的中點(diǎn)分別為B₁，B₂，△AB₁B₂是面積為

3

的等邊三角形．
（1）求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)圓心在原點(diǎn)O，半徑為

a2+b2

的圓是橢圓C的“準(zhǔn)圓”．點(diǎn)P是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過動(dòng)點(diǎn)P做存在斜率的直線l₁，l₂，使得l₁，l₂與橢圓都C只有一個(gè)交點(diǎn)，試判斷l(xiāng)₁，l₂是否垂直？并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由于△AB₁B₂是面積為

3

的等邊三角形，可得b=

3

2

c，

1

2

bc=

3

4

c²=

3

，a=

b2+c2

，解出即可．
（Ⅱ）橢圓C的“準(zhǔn)圓”方程為x²+y²=10，設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），其中x₀²+y₀²=10．設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P（x₀，y₀）與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為y=k（x-x₀）+y₀，與橢圓方程聯(lián)立可得（7k²+3）x²-14k（kx₀-y₀）x+7（kx₀-y₀）²-21=0．利用△=0，化簡(jiǎn)整理得（7-x₀²）k²+2x₀y₀k+3-y₀²=0．利用x₀²+y₀²=10，及其根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵△AB₁B₂是面積為

3

的等邊三角形，
∴b=

3

2

c，

1

2

bc=

3

4

c²=

3

，
即c=2，b=

3

． a=

b2+c2

=

7

．
∴橢圓C的離心率e=

2 7

7

，橢圓C的方程為

x2

7

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）橢圓C的“準(zhǔn)圓”方程為x²+y²=10，
設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），其中x₀²+y₀²=10．
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P（x₀，y₀）與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為y=k（x-x₀）+y₀
聯(lián)立

y=k(x-x0)+y0 x2 7 + y2 3 =1

，
消去y，得（7k²+3）x²-14k（kx₀-y₀）x+7（kx₀-y₀）²-21=0．
由△=0，化簡(jiǎn)整理得（7-x₀²）k²+2x₀y₀k+3-y₀²=0．
∵x₀²+y₀²=10，
∴k₁，k₂滿足方程（7-x₀²）k²+2x₀y₀k+x₀²-7=0，
設(shè)直線l₁，l₂的斜率分別為k₁，k₂，
∵直線l₁，l₂與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn)．
∴k₁•k₂=-1，即直線l₁與l₂垂直．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交相切問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得判別式△=0及其根與系數(shù)的關(guān)系、直線相互垂直與斜率的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．