Question

9．甲、乙兩個(gè)學(xué)校高三年級(jí)分別有1100人、1000人，為了解兩個(gè)學(xué)校高三年級(jí)全體學(xué)生在該地區(qū)三�？荚嚨臄�(shù)學(xué)成績(jī)情況，采用分層抽樣的方法從兩個(gè)學(xué)校一共抽取了105名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，并作出了如下的頻數(shù)分布表，規(guī)定考試成績(jī)?cè)赱120，150]內(nèi)為優(yōu)秀．
甲校：

分組	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150]
頻數(shù)	2	3	10	15	15	x	3	1

乙校：

分組	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150]
頻數(shù)	1	2	9	8	10	10	y	3

（1）計(jì)算x，y的值；
（2）若將頻率視為概率，從乙校高三學(xué)年任取三名學(xué)生的三模數(shù)學(xué)成績(jī)，其中優(yōu)秀的人數(shù)為X，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）由分層抽樣性質(zhì)得甲校抽取學(xué)生人數(shù)為55人，乙校抽取的學(xué)生人數(shù)為50人，由此能求出x，y．
（2）乙校抽取的50名學(xué)生中，考試成績(jī)?cè)赱120，150]內(nèi)有20人，將頻率視為概率，乙校高三學(xué)年三模數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的概率為$\frac{2}{5}$，從乙校高三學(xué)年任取三名學(xué)生的三模數(shù)學(xué)成績(jī)，其中優(yōu)秀的人數(shù)為X，則X～B（3，$\frac{2}{5}$），由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）由分層抽樣性質(zhì)得甲校抽取學(xué)生人數(shù)為：1100×$\frac{105}{1100+1000}$=55人，
乙校抽取的學(xué)生人數(shù)為：1000×$\frac{105}{1100+1000}$=50人，
∴x=55-2-3-10-15-15-3-1=6，
y=50-1-2-9-8-10-10-3=7．
（2）乙校抽取的50名學(xué)生中，考試成績(jī)?cè)赱120，150]內(nèi)有10+7+3=20人，
∴將頻率視為概率，乙校高三學(xué)年三模數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的概率為$\frac{2}{5}$，
從乙校高三學(xué)年任取三名學(xué)生的三模數(shù)學(xué)成績(jī)，其中優(yōu)秀的人數(shù)為X，則X～B（3，$\frac{2}{5}$），
P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{2}{5}）^{0}（\frac{3}{5}）^{3}$=$\frac{27}{125}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{2}{5}）（\frac{3}{5}）^{2}$=$\frac{54}{125}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{5}）^{2}（\frac{3}{5}）$=$\frac{36}{125}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{2}{5}）^{3}（\frac{3}{5}）^{0}$=$\frac{8}{125}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

EX=$0×\frac{27}{125}+1×\frac{54}{125}+2×\frac{36}{125}+3×\frac{8}{125}$=$\frac{6}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．