Question

4．已知函數(shù)f₁（x）=$\frac{lg（1-{x}^{2}）}{|{x}^{2}-2|-2}$；f₂（x）=（x-1）•$\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$；f₃（x）=log_a（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），（a＞0，a≠1）；f₄（x）=x•（$\frac{1}{{2}^{x}-1}+\frac{1}{2}$），（x≠0），下面關(guān)于這四個(gè)函數(shù)奇偶性的判斷正確的是（　�。�

• A． 都是偶函數(shù)
• B． 一個(gè)奇函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)，兩個(gè)非奇非偶函數(shù)
• C． 一個(gè)奇函數(shù)，兩個(gè)偶函數(shù)，一個(gè)非奇非偶函數(shù)
• D． 一個(gè)奇函數(shù)，三個(gè)偶函數(shù)

Answer 1

分析 先看各個(gè)函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義進(jìn)行判斷，從而得出結(jié)論．

解答 解：對(duì)于函數(shù)f₁（x）=$\frac{lg（1-{x}^{2}）}{|{x}^{2}-2|-2}$=$\frac{lg（1-{x}^{2}）}{{x}^{2}}$，它的定義域?yàn)椋?1，0）∪（0，1），f₁（-x）=f₁（x），
故f₁（x）為偶函數(shù)．
對(duì)于函數(shù)f₂（x）=（x-1）•$\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$ 的定義域?yàn)椋?∞，-1]∪（1，+∞），
它的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故此函數(shù)f₂（x）沒(méi)有奇偶性．
對(duì)于函數(shù)f₃（x）=log_a（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）（a＞0，a≠1），它的定義域?yàn)镽，
f₃（-x）=log_a（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=log_a（$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}+x}$）=-log_a（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=-f₃（x），
故函數(shù)f₃（x）為奇函數(shù)．
對(duì)于函數(shù) f₄（x）=x•（$\frac{1}{{2}^{x}-1}+\frac{1}{2}$），（x≠0），它的定義域?yàn)閧x|x≠0}，
∵f₄（-x）=-x•（$\frac{1}{{2}^{-x}-1}$+$\frac{1}{2}$）=-x•（$\frac{{2}^{x}}{1{-2}^{x}}$+$\frac{1}{2}$）=x•（$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}-1}$-$\frac{1}{2}$）
=x•（$\frac{{2}^{x}-1+1}{{2}^{x}-1}$-$\frac{1}{2}$）=x•（ 1+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$-$\frac{1}{2}$）=x•（$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）=f₄（x），
故f₄（x）為偶函數(shù)，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷和證明，注意考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，式子的變形是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．