Question

如圖，已知點(diǎn)F為拋物線C₁：y²=4x的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F任作兩條互相垂直的直線l₁，l₂，分別交拋物線C₁于A，C，B，D四點(diǎn)，E，G分別為AC，BD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）直線EG是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)，求出該定點(diǎn)；若不過(guò)，說(shuō)明理由；
（Ⅱ）設(shè)直線EG交拋物線C₁于M，N兩點(diǎn)，試求|MN|的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）直線EG過(guò)定點(diǎn)（3，0），設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），直線AC的方程為x=my+1，代入拋物線C₁的方程，得y²-4my-4=0，由此能求出直線過(guò)定點(diǎn)H（3，0）；
（Ⅱ）直線EG的方程為x=ty+3，代入拋物線方程，利用兩點(diǎn)間的距離公式，即可求得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）直線EG過(guò)定點(diǎn)（3，0），設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
直線AC的方程為x=my+1，代入拋物線C₁的方程，得y²-4my-4=0，
則x₁+x₂=4m，x₁x₂=4m²+2，
∴AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為E（2m²+1，2m），
由AC⊥BD，得BD的中點(diǎn)坐標(biāo)為G（

2

m2

+1，-

2

m

），
令2m²+1=

2

m2

+1，得m²=1，此時(shí)2m²+1=

2

m2

+1=3，
故直線過(guò)點(diǎn)H（3，0），
當(dāng)m²≠1時(shí)，k_HE=

m

m2-1

，
同理k_HG=

m

m2-1

，
∴k_HE=k_HG，
∴E，H，G三點(diǎn)共線，
故直線過(guò)定點(diǎn)H（3，0）；
（Ⅱ）設(shè)M（

yM2

4

，y_M），N（

yN2

4

，y_N），直線EG的方程為x=ty+3，代入拋物線方程可得y²-4ty-12=0，
∴y_M+y_N=4t，y_My_N=-12，
∴|MN|²=（

yM2

4

-

yN2

4

）²+（y_M-y_N）²=16（t²+3）（t²+1）≥48，
∴|MN|≥4

3

，
當(dāng)t=0，即直線EG垂直于x軸時(shí)，|MN|取得最小值4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程的求法，考查直線是否過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)的判斷與求法，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意中點(diǎn)坐標(biāo)公式的合理運(yùn)用．