Question

觀察以下5個等式：
-1=-1
-1+3=2
-1+3-5=-3
-1+3-5+7=4
-1+3-5+7-9=-5
…
照以上式子規(guī)律：
（1）寫出第6個等式，并猜想第n個等式；（n∈N^*）
（2）用數(shù)學歸納法證明上述所猜想的第n個等式成立．（n∈N^*）

Answer 1

考點：歸納推理

專題：推理和證明

分析：（1）由已知中-1=-1，-1+3=2，-1+3-5=-3，-1+3-5+7=4，-1+3-5+7-9=-5，等式左邊有n個連續(xù)奇數(shù)相加減，右邊為n（n為偶數(shù)）或n的相反數(shù)（n為奇數(shù)），進而得到結(jié)論；
（2）當n=1時，由已知得原式成立，假設當n=k時，原式成立，推理可得n=k+1時，原式也成立，①②知-1+3-5+7-9+…+（-1）ⁿ（2n-1）=（-1）ⁿn成立．

解答： 解：（1）由已知中：
-1=-1
-1+3=2
-1+3-5=-3
-1+3-5+7=4
-1+3-5+7-9=-5
…
歸納可得：
第6個等式為-1+3-5+7-9+11=6   …（2分）
第n個等式為-1+3-5+7-9+…+（-1）ⁿ（2n-1）=（-1）ⁿn…（4分）
（2）下面用數(shù)學歸納法給予證明：-1+3-5+7-9+…+（-1）ⁿ （2n-1）=（-1）ⁿn
①當n=1時，由已知得原式成立； …（5分）
②假設當n=k時，原式成立，
即-1+3-5+7-9+…+（-1）^k （2k-1）=（-1）^kk…（6分）
那么，當n=k+1時，
-1+3-5+7-9+…+（-1）^k （2k-1）+（-1）^k+1 （2k+1）
=（-1）^kk+（-1）^k+1 （2k+1）
=（-1）^k+1（-k+2k+1）
=（-1）^k+1 （k+1）
故n=k+1時，原式也成立，
由①②知-1+3-5+7-9+…+（-1）ⁿ（2n-1）=（-1）ⁿn成立．

點評：本題考查的知識點是歸納推理，數(shù)數(shù)歸納法，熟練掌握利用數(shù)學歸納法證明的步驟是解答的關鍵．歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．