Question

3．如圖，△ABC內接于直徑為BC的圓O，過點作圓O的切線交CB的延長線于點P，AE交BC和圓O于點D、E，且$\frac{AC}{AB}$=$\frac{CD}{DB}$，若PA=2PB=10．
（Ⅰ）求證：AC=2AB；
（Ⅱ）求AD•DE的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過證明△ABP∽△CAP，然后證明AC=2AB；
（Ⅱ）利用切割線定理以及相交弦定理直接求AD•DE的值．

解答 （Ⅰ）證明：∵PA是圓O的切線，∴∠PAB=∠ACB．
又∠P是公共角
∴△ABP∽△CAP…（4分）
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AP}{PB}=2$，
∴AC=2AB…（6分）
（Ⅱ）解：由切割線定理得：PA²=PB•PC∴PC=20
又PB=5，∴BC=15…（9分）
又∵$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{DB}=2$
∴CD=2DB，
∴CD=10，DB=5…（11分）
又由相交弦定理得：AD•DE=CD•DB=50…（13分）

點評 本題主要考查與圓有關的比例線段、相似三角形的判定及切線性質的應用．屬于中檔題．