Question

7．若a＞0，b＞0，a+b=2，則下列不等式命題中正確的個數(shù)是（　�。�
（1）ab≤1  （2）$\sqrt{2a+1}$+$\sqrt{2b+1}$$≤2\sqrt{2}$  （3）a²+b²≥2  （4）a³+b³≥3  （5）$\frac{1}{a}+\frac{1}≥2$  （6）$\frac{5-2ab}{{a}^{2}+^{2}}≤\frac{3}{2}$（7）a⁴+b⁴∈[2，16）（8）a²+2b²∈[$\frac{8}{3}$，8）（9）（a+$\frac{1}{a}$）（b+$\frac{1}$）≥4  （10）（a-$\frac{2}$）（b+$\frac{1}{a}$）≤-2．

• A． 5個
• B． 6個
• C． 7個
• D． 8個

Answer 1

分析 由a＞0，b＞0，a+b=2，
（1）由已知可得：$2≥2\sqrt{ab}$，化為ab≤1，即可判斷出正誤．
（2）可得：$（\sqrt{2a+1}+\sqrt{2b+1}）^{2}$≤2（2a+1+2b+1）=12，化簡即可判斷出正誤．
（3）利用a²+b²≥$\frac{（a+b）^{2}}{2}$，即可判斷出正誤．
（4）取a=b=1時，不等式a³+b³≥3 不成立，即可判斷出正誤．
（5）$\frac{1}{a}+\frac{1}$=$\frac{1}{2}（a+b）$$（\frac{1}{a}+\frac{1}）$=$\frac{1}{2}（2+\frac{a}+\frac{a}）$，利用基本不等式的性質(zhì)即可判斷出正誤．
（6）由于3（a²+b²）+4ab=a²+b²+2（a+b）²≥$\frac{5}{2}（a+b）^{2}$，即可判斷出正誤．
（7）a⁴+b⁴=（a²+b²）²-2a²b²=$[（a+b）^{2}+（\sqrt{2}-2）ab]$$[（a+b）^{2}-（2+\sqrt{2}）ab]$=$[4+（\sqrt{2}-2）ab][4-（2+\sqrt{2}）ab]$=2（ab-4）²-16，利用ab∈（0，1]即可判斷出正誤．
（8）a²+2b²=a²+2（2-a）²=3$（a-\frac{4}{3}）^{2}$+$\frac{8}{3}$，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出正誤．
（9）利用基本不等式的性質(zhì)，即可判斷出正誤．
（10）（a-$\frac{2}$）（b+$\frac{1}{a}$）=ab-$\frac{2}{ab}$-1，令ab=t∈（0，1]，則f（t）=t-$\frac{2}{t}$-1，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可判斷出正誤．

解答 解：由a＞0，b＞0，a+b=2，
（1）可得：$2≥2\sqrt{ab}$，化為ab≤1，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時取等號．因此正確．
（2）可得：$（\sqrt{2a+1}+\sqrt{2b+1}）^{2}$≤2（2a+1+2b+1）=12，∴$\sqrt{2a+1}$+$\sqrt{2b+1}$≤2$\sqrt{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時取等號，因此不正確．
（3）∵a²+b²≥$\frac{（a+b）^{2}}{2}$=2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時取等號，因此正確．
（4）取a=b=1時，不等式a³+b³≥3 不成立，因此不正確；
（5）$\frac{1}{a}+\frac{1}$=$\frac{1}{2}（a+b）$$（\frac{1}{a}+\frac{1}）$=$\frac{1}{2}（2+\frac{a}+\frac{a}）$≥$\frac{1}{2}（2+2\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}）$=2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時取等號，正確．
（6）∵3（a²+b²）+4ab=a²+b²+2（a+b）²≥$\frac{5}{2}（a+b）^{2}$=10，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時取等號，∴$\frac{5-2ab}{{a}^{2}+^{2}}≤\frac{3}{2}$，正確．
（7）a⁴+b⁴=（a²+b²）²-2a²b²=$（{a}^{2}+^{2}+\sqrt{2}ab）$$（{a}^{2}+^{2}-\sqrt{2}ab）$=$[（a+b）^{2}+（\sqrt{2}-2）ab]$$[（a+b）^{2}-（2+\sqrt{2}）ab]$
=$[4+（\sqrt{2}-2）ab][4-（2+\sqrt{2}）ab]$=2a²b²-16ab+16=2（ab-4）²-16∈[2，16）（∵ab∈（0，1]），因此正確．
（8）a²+2b²=a²+2（2-a）²=3a²-8a+8=3$（a-\frac{4}{3}）^{2}$+$\frac{8}{3}$∈[$\frac{8}{3}$，8），正確；
（9）（a+$\frac{1}{a}$）（b+$\frac{1}$）≥$2\sqrt{a•\frac{1}{a}}$×$2\sqrt{b•\frac{1}}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時取等號，正確；
（10）（a-$\frac{2}$）（b+$\frac{1}{a}$）=ab-$\frac{2}{ab}$-1，令ab=t∈（0，1]，則f（t）=t-$\frac{2}{t}$-1，f′（t）=1+$\frac{2}{{t}^{2}}$＞0，因此函數(shù)f（t）在t∈（0，1]上單調(diào)遞增，∴f（t）≤f（1）=-2，因此正確．
綜上可得：不等式命題中正確的個數(shù)是8．
故選：D．

點評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了綜合解決問題的能力、變形能力、推理能力與計算能力，屬于難題．