Question

12．若函數(shù)f（x）對任意x∈R，滿足f（x-1）=f（x+1），且當x∈[-1，1]時，f（x）=1-x²．函數(shù)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lgx，x＞0}\\{-\frac{1}{x}，x＜0}\end{array}\right.$則函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在區(qū)間[-11，11]上零點的個數(shù)為20．

Answer 1

分析 由f（x-1）=f（x+1），得函數(shù)的周期是2，由h（x）=f（x）-g（x）=0得f（x）=g（x），作出函數(shù)f（x）和g（x）在區(qū)間[-11，11]上的圖象，利用數(shù)形結(jié)合判斷兩個函數(shù)的交點個數(shù)即可．

解答 解：∵f（x-1）=f（x+1），
∴f（x）=f（x+2），
即函數(shù)f（x）的周期是2，
由h（x）=f（x）-g（x）=0得f（x）=g（x），
∵當x∈[-1，1]時，f（x）=1-x²．
∴作出函數(shù)f（x）和g（x）在區(qū)間[-11，11]上的圖象如圖：
由圖象知兩個函數(shù)有20個交點，
故函數(shù)的零點個數(shù)為20，
故答案為：20

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)條件將函數(shù) 轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．