Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx+（x-b）^{2}}{x}$（b∈R）．若存在x∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，則實數(shù) b的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，$\frac{3}{2}$）
• B． （-∞，$\frac{9}{4}$）
• C． （-∞，3）
• D． （-∞，$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 求導函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，進而可得函數(shù)的最大值，故可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=f（x）=$\frac{lnx+（x-b）^{2}}{x}$，x＞0，
∴f′（x）=$\frac{1+2x（x-b）-lnx-（x-b）^{2}}{{x}^{2}}$，
∴f（x）+xf′（x）=$\frac{lnx+（x-b）^{2}}{x}$+$\frac{1+2x（x-b）-lnx-（x-b）^{2}}{x}$=$\frac{1+2x（x-b）}{x}$，
∵存在x∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，
∴1+2x（x-b）＞0
∴b＜x+$\frac{1}{2x}$，
設(shè)g（x）=x+$\frac{1}{2x}$，
∴b＜g（x）_max，
∴g′（x）=1-$\frac{1}{2{x}^{2}}$=$\frac{2{x}^{2}-1}{2{x}^{2}}$，
當g′（x）=0時，解的x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當g′（x）＞0時，即$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜x≤2時，函數(shù)單調(diào)遞增，
當g′（x）＜0時，即$\frac{1}{2}$≤x＜2時，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴當x=2時，函數(shù)g（x）取最大值，最大值為g（2）=2+$\frac{1}{4}$=$\frac{9}{4}$
∴b＜$\frac{9}{4}$，
故選：B．

點評 本題考查導數(shù)知識的運用，考查恒成立問題，考查函數(shù)的最值，屬于中檔題．