Question

6．已知函數(shù)f（x）=x³-3ax²+2bx在點(diǎn)x=1處有極小值-1．
（Ⅰ）求a，b；
（Ⅱ）求f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，直接f′（1）=0，f（1）=-1，fqca，b．
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線的斜率，然后求解切線方程．

解答 解：（Ⅰ）∵f′（x）=3x²-6ax+2b，函數(shù)f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1處有極小值-1，
∴f（1）=-1，f′（1）=0
∴1-3a+2b=-1，3-6a+2b=0
解得a=$\frac{1}{3}$，b=-$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）∵f（x）=x³-x²-x，f（0）=0，
∴f′（0）=-1，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，0）處的切線方程為y=-x，
即x+y=0．
則曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為x+y=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)極值中的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題．