Question

15．下列說法中，所有正確說法的序號是②④．
①終邊落在y軸上的角的集合是$\{α|α=\frac{kπ}{2}，k∈Z\}$； 
②函數(shù)$y=2cos（x-\frac{π}{4}）$圖象的一個對稱中心是$（\frac{3π}{4}，0）$；
③函數(shù)y=tanx在第一象限是增函數(shù)；
④為了得到函數(shù)y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象，只需把函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位長度．

Answer 1

分析 ①當角θ的終邊落在y軸的非負半軸上時寫出角θ的集合，當角θ的終邊落在y軸的非正半軸上時，寫出角θ 的集合，終邊落在y軸上的角的集合是這2個集合的并集，故不正確；
②令x-$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，可得對稱中心為（kπ+$\frac{3π}{4}$，0），k∈z，
令k=0，得到一個對稱中心的坐標（$\frac{3π}{4}$，0），即可判斷；
③通過舉反例說明命題錯誤；
④由于 函數(shù)y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）=3sin[2（x-$\frac{π}{6}$）]，再結合函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律得出結論．

解答 解：①當角θ的終邊落在y軸的非負半軸上時，角θ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
當角θ的終邊落在y軸的非正半軸上時，角θ=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
故終邊落在y軸上的角的集合是{θ|θ=2kπ+$\frac{π}{2}$，或θ=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z}={θ|θ=2kπ+$\frac{π}{2}$，或θ=2kπ+π+$\frac{π}{2}$，k∈Z}={θ|θ=nπ+$\frac{π}{2}$，n∈Z}，不正確；
②令x-$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，可得對稱中心為（kπ+$\frac{3π}{4}$，0），k∈z，
令k=0，得到一個對稱中心的坐標（$\frac{3π}{4}$，0），故正確；
③∵390°，45°是第一象限角，390°＞45°，但tan390°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜1=tan45°，
∴函數(shù)y=tanx在第一象限是增函數(shù)錯誤，命題①為假命題；
④由于 函數(shù)y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）=sin[2（x-$\frac{π}{6}$）]，故只需把函數(shù)y=3sin2x的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個長度單位即可得到函數(shù)y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象，故正確；
故答案為：②④．

點評 本題考查終邊相同的角的概念和表示法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想．考查了正弦函數(shù)的對稱中心，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，判斷所求的對稱中心就是函數(shù) y=cos2x與x軸交點，是解題的關鍵，屬于中檔題．