Question

12．已知數(shù)列{a_n}滿足：$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{n}^{2}}{2}$（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=a_na_n+1，S_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，對于任意的正整數(shù)n，S_n＞2λ-$\frac{1}{3}$恒成立，求S_n及實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系即可得出a_n．
（2）利用“裂項求和”可得S_n，再利用數(shù)列的單調(diào)性與不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{n}^{2}}{2}$（n∈N^*），
∴當n=1時，$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，解得a₁=2．
當n≥2時，$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{（n-1）^{2}}{2}$（n∈N^*）．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{n}^{2}}{2}$-$\frac{（n-1）^{2}}{2}$，
解得a_n=$\frac{2}{2n-1}$，當n=1時也成立．
（2）b_n=a_na_n+1=$\frac{4}{（2n-1）（2n+1）}$=2$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=$2[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=2$（1-\frac{1}{2n+1}）$，
∵對于任意的正整數(shù)n，S_n＞2λ-$\frac{1}{3}$恒成立，
∴λ＜$\frac{7}{6}$-$\frac{1}{2n+1}$．
∴λ＜$\frac{5}{6}$．
∴實數(shù)λ的取值范圍是$（-∞，\frac{5}{6}）$．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、“裂項求和”、數(shù)列的單調(diào)性與不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．