Question

7．在△ABC中，A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c．2c²-2a²=b²．
（Ⅰ）證明：2ccosA-2acosC=b；
（Ⅱ）若tanA=$\frac{1}{3}$，求角C的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用余弦定理把等號(hào)左邊進(jìn)行整理，把cosA和cosC代入．
（Ⅱ）利用正弦定理把（Ⅰ）結(jié)論中邊轉(zhuǎn)化成角的正弦，進(jìn)而利用兩角和公式化簡(jiǎn)整理，可求得sinCcosA=3sinAcosC，進(jìn)而求得tanC和tanA的關(guān)系，求得tanC，則C可得．

解答 （Ⅰ）證明：因?yàn)?c²-2a²=b²，
所以2ccosA-2acosC=2c•$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$-2a•$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$
=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}$-$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}$=$\frac{2{c}^{2}-{2a}^{2}}$=b．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）和正弦定理以及sinB=sin（A+C）得
2sinCcosA-2sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC，
即sinCcosA=3sinAcosC，
又cosAcosC≠0，所以tanC=3tanA=1，故C=45°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理和余弦定理的運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是對(duì)正弦定理和余弦定理能熟練靈活的運(yùn)用．