Question

17．2015年中國(guó)男子國(guó)家足球隊(duì)再度征戰(zhàn)世界杯亞洲區(qū)預(yù)選賽，中國(guó)隊(duì)與卡塔爾、馬爾代夫、不丹、中國(guó)香港同處一組．比賽采取主客場(chǎng)積分制，既任意兩隊(duì)分別在自己的國(guó)家或地區(qū)（主場(chǎng)）和對(duì)方的國(guó)家或地區(qū)（客場(chǎng)）各比賽一場(chǎng)，規(guī)定每場(chǎng)勝者得3分，負(fù)者得0分，戰(zhàn)平各得1分，按積分多少排名．卡塔爾隊(duì)是中國(guó)隊(duì)最主要的競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手，假設(shè)中國(guó)隊(duì)與卡塔爾隊(duì)在對(duì)陣其他三隊(duì)的主客場(chǎng)比賽中都全部獲勝；中國(guó)隊(duì)在對(duì)陣卡塔爾隊(duì)主場(chǎng)戰(zhàn)勝的概率為$\frac{1}{2}$，戰(zhàn)平的概率為$\frac{1}{3}$，在客場(chǎng)勝、平、負(fù)的概率均為$\frac{1}{3}$，各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立．
（Ⅰ）求中國(guó)隊(duì)在主場(chǎng)不敗的情況下積分大于卡塔爾隊(duì)積分的概率；
（Ⅱ）求比賽結(jié)束時(shí)中國(guó)隊(duì)積分X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分別求出中國(guó)隊(duì)主場(chǎng)勝、客場(chǎng)勝或平的概率和中國(guó)隊(duì)主場(chǎng)平客場(chǎng)勝的概率求和即可．
（Ⅱ）得出中國(guó)隊(duì)所有可能取得積分，分別求出概率即可．

解答 解：（Ⅰ）中國(guó)隊(duì)主場(chǎng)勝、客場(chǎng)勝或平的概率${p}_{1}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$
中國(guó)隊(duì)主場(chǎng)平客場(chǎng)勝的概率${p}_{2}=\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$，
∴中國(guó)隊(duì)積分大于卡塔爾隊(duì)積分的概率$p={p}_{1}+{p}_{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$
（Ⅱ）X可能取得值為18，19，20，21，22，24
P（X=18）=$\frac{1}{6}×\frac{1}{3}=\frac{1}{18}$，P（X=19）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}+\frac{1}{6}×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$
P（X=20）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$，P（X=21）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{6}×\frac{1}{3}=\frac{2}{9}$，
P（X=22）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{5}{18}$，P（X=24）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$
∴X的分布列為

X	18	19	20	21	22	24
P	$\frac{1}{18}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{1}{6}$

X的數(shù)學(xué)期望EX=$18×\frac{1}{18}+19×\frac{1}{6}+20×\frac{1}{9}+21×\frac{2}{9}+22×\frac{5}{18}$$+24×\frac{1}{6}=\frac{127}{6}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了事件相互獨(dú)立的概率求解方法，屬于�？碱}型，在考卷中屬基礎(chǔ)題型．