Question

12．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，cos$\frac{π}{4}$•cosφ-sin$\frac{3π}{4}$•sinφ=0且函數(shù)f（x）的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于$\frac{π}{3}$，函數(shù)f（x）的圖象向左平移m個單位所對應的函數(shù)是偶函數(shù)．則最小正實數(shù)m的值為$\frac{π}{12}$．

Answer 1

分析 利用特殊角的三角函數(shù)值化簡cos$\frac{π}{4}$cosφ-sin$\frac{3π}{4}$sinφ=0，根據(jù)|φ|＜$\frac{π}{2}$直接求出φ的值，若函數(shù)f（x）的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于$\frac{π}{3}$，求出周期，求出ω，得到函數(shù)f（x）的解析式，函數(shù)f（x）的圖象向左平移m個單位所對應的函數(shù)是偶函數(shù)．推出m=$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{12}$（k∈Z），可求最小正實數(shù)m．

解答 解：由cos$\frac{π}{4}$cosφ-sin$\frac{3π}{4}$sinφ=0，解得cos$\frac{π}{4}$cosφ-sin$\frac{π}{4}$sinφ=0，即cos（$\frac{π}{4}$+φ）=0，
又∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{4}$，可得解析式：f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$），
∵依題意，$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{3}$，又T=$\frac{2π}{ω}$，故解得：ω=3，
∴f（x）=sin（3x+$\frac{π}{4}$），
∵函數(shù)f（x）的圖象向左平移m個單位后所對應的函數(shù)為g（x）=sin[3（x+m）+$\frac{π}{4}$]，
∴g（x）是偶函數(shù)當且僅當3m+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），即m=$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{12}$（k∈Z），
從而解得，最小正實數(shù)m=$\frac{π}{12}$．
故答案為：$\frac{π}{12}$．

點評 本題是中檔題，考查三角函數(shù)的字母變量的求法，三角函數(shù)的圖象的平移，偶函數(shù)的性質，轉化思想的應用，考查計算能力，是常考題．