Question

4．從甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的若干次訓(xùn)練成績中隨機(jī)抽取6次，分別為
甲：7.7，7.8，8.6，8.7，9.3，9.5
乙：7.6，8.2，8.5，8.6，9.2，9.5
（1）根據(jù)以上的莖葉圖，對(duì)甲、乙運(yùn)動(dòng)員的成績作比較，寫出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)論；
（2）從甲、乙運(yùn)動(dòng)員6次成績中各隨機(jī)抽取1次成績，求甲、乙運(yùn)動(dòng)員的成績至少有一個(gè)高于8.5分的概率．
（3）經(jīng)過對(duì)甲、乙運(yùn)動(dòng)員若干次成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)甲運(yùn)動(dòng)員成績均勻分布在[7，10]之間，乙運(yùn)動(dòng)員成績均勻分布在[7.5，9.5]之間，現(xiàn)甲、乙比賽一次，求甲、乙成績之差的絕對(duì)值小于0.5分的概率．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)莖葉圖，我們結(jié)合甲乙兩名運(yùn)動(dòng)員的成績，我們可以求出兩個(gè)人的平均成績，從而比較出兩個(gè)人的平均水平；也可計(jì)算出兩個(gè)人的方差（或標(biāo)準(zhǔn)差），從而比較出兩個(gè)人發(fā)揮的穩(wěn)定性；
（2）設(shè)甲乙成績至少有一個(gè)高于8.5分為事件A，我們先計(jì)算出從甲、乙運(yùn)動(dòng)員六次成績中各隨機(jī)抽取1次成績的所有抽取方法總數(shù)，和滿足甲、乙運(yùn)動(dòng)員的成績至少有一個(gè)高于8.5分的抽取方法，代入古典概型公式即可求出答案．
（3）根據(jù)已知中甲運(yùn)動(dòng)員成績均勻分布在[7.5，9.5]之間，乙運(yùn)動(dòng)員成績均勻分布在[7.0，10]之間，我們可以求出它所表示的平面區(qū)域的面積，再求出甲、乙成績之差的絕對(duì)值小于0.5分對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域的面積，代入幾何概型公式，即可得到答案．

解答 解（1）由樣本數(shù)據(jù)可得：
$\overline{{x}_{甲}}$=$\frac{1}{6}$（7.7+7.8+8.6+8.7+9.3+9.5）=8.6，
$\overline{{x}_{乙}}$=$\frac{1}{6}$（7.6+8.2+8.5+8.6+9.2+9.5）=8.6，可知甲乙運(yùn)動(dòng)員平均水平相同．
${s}_{甲}^{2}$=$\frac{1}{6}$[（7.7-8.6）²+（7.8-8.6）²+（8.6．-8.6）²+（8.7-8.6）²+（9.3-8.6）²+（9.5-8.6）²]=0.46，
${s}_{乙}^{2}$=$\frac{1}{6}$[（7.6-8.6）²+（8.2-8.6）²+（8.5-8.6）²+（8.6-8.6）²+（9.2-8.6）²+（9.5-8.6）²]=0.39，
可知乙運(yùn)動(dòng)員的方差小，則乙運(yùn)動(dòng)員發(fā)揮較甲運(yùn)動(dòng)員發(fā)揮穩(wěn)定．
（2）設(shè)甲乙運(yùn)動(dòng)員成績至少有一個(gè)高于8為事件A
則P（A）=1-$\frac{2}{6}×\frac{3}{6}=\frac{5}{6}$．
（3）設(shè)甲運(yùn)動(dòng)員的成績?yōu)閥，y∈[7，10]，
乙運(yùn)動(dòng)員的成績?yōu)閤，x∈[7.5，9.5]且|x-y|＜0.5，
設(shè)甲乙運(yùn)動(dòng)員成績之差小于0.5分為事件B，
則$\left\{{\begin{array}{l}{7.5≤x≤9.5}\\{7≤y≤10}\\{|{x-y}|≤0.5}\end{array}}\right.$
則事件B包含的區(qū)域?yàn)殛幱皡^(qū)域，則P（B）=1-$\frac{2+2}{3×2}$=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是古典概型及其概率計(jì)算公式，幾何概型及其概率計(jì)算公式，莖葉圖，是統(tǒng)計(jì)和概率知識(shí)的綜合考查，熟練掌握古典概型及幾何概型求解概率的方法和步驟是解答本題的關(guān)鍵．