Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

2

x-

1

4

sinx-

3

4

cosx．
（1）試判定函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；    
（2）已知f′（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且f′（B）=

3

4

且B為銳角，求sin（B+10°）[1-

3

tan（B-10°）]的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,三角函數(shù)的求值

分析：（1）求導(dǎo)，得到導(dǎo)數(shù)恒大于等于0，故得到函數(shù)為增函數(shù)，
（2）先求出B的大小，再利用三角函數(shù)的和差公式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可求出值．

解答： 解：∵f（x）=

1

2

x-

1

4

sinx-

3

4

cosx．
∴f′（x）=

1

2

-

1

4

cosx+

3

4

sinx=

1

2

sin（x-

π

6

）+

1

2

≥0，
∴函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增．
（2）∵f′（B）=

3

4

且B為銳角，
∴

1

2

sin（B-

π

6

）+

1

2

=

3

4

，
∴sin（B-

π

6

）=

1

2

，
∴B-

π

6

=

π

6

，
∴B=60°，
∴sin（B+10°）[1-

3

tan（B-10°）]=sin70°（1-

3

tan50°）
=sin70°（1-

3 sin50°

cos50°

）=sin70°

cos50°- 3 sin50

cos50°

=sin70°

2cos110°

cos50°

=-

sin140°

cos50°

=-1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及三角函數(shù)中的和差公式，誘導(dǎo)公式，培養(yǎng)科學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．