Question

已知橢圓的一個頂點為A（0，-1），焦點在x軸上，若右焦點到直線x-y+2

2

=0的距離為3．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在斜率為k（k≠0），且過定點Q（0，2）的直線l，使l與橢圓交于兩個不同的點M，N，且|AM|=|AN|？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（I）依題意可設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+y2=1，利用右焦點到直線x-y+2

2

=0的距離為3，求出c，可求a，即可求橢圓的方程；
（Ⅱ），直線方程為y=kx+2，代入橢圓方程，因為|AM|=|AN|，所以AP⊥MN，所以

y0+1

x0

•k=-1，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（I）依題意可設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+y2=1，右焦點F（c，0），
由題設(shè)：

|c+2 2 |

2

=3，解得：c=

2

，∴a=

3

，
故所求橢圓的方程為

x2

3

+y2=1．…（4分）
（II）設(shè)存在直線符合題意，直線方程為y=kx+2，代入橢圓方程得：（3k²+1）x²+12kx+9=0，…（6分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，y₀）為弦MN的中點，則
由韋達定理得：

△=144k2-36(3k2+1)＞0 x1+x2=- 12k 3k2+1

，所以k²＞1…（8分）
所以x0=-

6k

3k2+1

，y0=kx0+2=

2

3k2+1

，…（9分）
因為|AM|=|AN|，所以AP⊥MN，
所以

y0+1

x0

•k=-1，所以k=±1…（11分）
不符合△＞0，所以不存在直線符合題意．…（12分）

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．