Question

14．已知拋物線、橢圓和雙曲線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，2），它們?cè)趚軸上有共同焦點(diǎn)，橢圓的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)．則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），將M（1，2）代入方程解得p即可．由題意知橢圓的焦點(diǎn)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），可得c．對(duì)于橢圓，2a=|MF₁|+|MF₂|，可得結(jié)論．

解答 解：設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），將M（1，2）代入方程得p=2．
∴拋物線的方程為y²=4x．
由題意知橢圓的焦點(diǎn)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．
∴c=1．
對(duì)于橢圓，2a=|MF₁|+|MF₂|=$\sqrt{（1+1）^{2}+{2}^{2}}$+$\sqrt{（1-1）^{2}+{2}^{2}}$=2+2$\sqrt{2}$．
故答案為：2+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．