Question

2．函數(shù)f（x）=|cosx|（x≥0）的圖象與過原點的直線恰有四個交點，設(shè)四個交點中橫坐標最大值為θ，則$\frac{（1+{θ}^{2}）sin2θ}{θ}$=-2．

Answer 1

分析 依題意，過原點的直線與函數(shù)y=|cosx|（x≥0）在區(qū)間（$\frac{3π}{2}$，2π）內(nèi)的圖象相切，利用導(dǎo)數(shù)知識可求得切線方程，利用直線過原點，可求得θ=-$\frac{1}{tanθ}$，代入所求關(guān)系式即可求得答案

解答 解：∵函數(shù)f（x）=|cosx|（x≥0）的圖象與過原點的直線恰有四個交點，
∴直線與函數(shù)y=|cosx|（x≥0）在區(qū)間（$\frac{3π}{2}$，2π）內(nèi)的圖象相切，
在區(qū)間（$\frac{3π}{2}$，2π）上，y的解析式為y=cosx，
故由題意切點坐標為（θ，cosθ），
∴切線斜率k=y′=-sinx|_x=θ=-sinθ，
∴由點斜式得切線方程為：
y-cosθ=-sinθ（x-θ），
∴y=-sinθx+θsinθ+cosθ，
∵直線過原點，
∴θsinθ+cosθ=0，得θ=-$\frac{1}{tanθ}$，
∴$\frac{（1+{θ}^{2}）sin2θ}{θ}$=$\frac{（1+\frac{1}{ta{n}^{2}θ}）sin2θ}{-\frac{1}{tanθ}}$=-（tanθ+$\frac{1}{tanθ}$）sin2θ=-（$\frac{sinθ}{cosθ}$+$\frac{cosθ}{sinθ}$）•2sinθcosθ=-2（sin²θ+cos²θ）=-2．
故答案為：-2．

點評 本題考查直線與余弦曲線的交點，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線的點斜式方程的應(yīng)用，求得θ=-$\frac{1}{tanθ}$是關(guān)鍵，考查三角函數(shù)間的關(guān)系的綜合應(yīng)用，屬于難題．