Question

14．已成橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．其右頂點與上頂點的距離為$\sqrt{5}$，過點P（0，2）的直線l與橢圓C相交于A、B兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)M是AB中點，且Q點的坐標(biāo)為（$\frac{2}{5}$，0），當(dāng)QM⊥AB時，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．其右頂點與上頂點的距離為$\sqrt{5}$，列出方程組，求出a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，由此能求出橢圓C的方程．
（2）若直線l的斜率不存在，直線方程為x=0；若直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+2，與橢圓方程聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得（2+3k²）x²+12kx+6=0，由此利用根的判別式、韋達定理、直線垂直，結(jié)合已知條件能求出直線l的方程．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
其右頂點與上頂點的距離為$\sqrt{5}$，
∴由題意知：$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{{a}^{2}+^{2}=5}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）①若直線l的斜率不存在，此時M為原點，滿足QM⊥AB，∴方程為x=0；
②若直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線方程與橢圓方程聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得（2+3k²）x²+12kx+6=0，
△=72k²-48＞0，${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-12k}{2+3{k}^{2}}$，
設(shè)M（x₀，y₀），則${x}_{0}=\frac{-6k}{2+3{k}^{2}}$，${y}_{0}=k•\frac{-6k}{2+3{k}^{2}}+2=\frac{4}{2+3{k}^{2}}$，
由QM⊥AB，知$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-\frac{2}{5}}•k=-1$，化簡得3k²+5k+2=0，
解得k=-1或k=-$\frac{2}{3}$，將結(jié)果代入△=72k²-48＞0驗證，舍掉k=-$\frac{2}{3}$，
此時，直線l的方程為x+y-2=0，
綜上所述，直線l的方程為x=0或x+y-2=0．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達定理、直線垂直、橢圓等知識點的合理運用．