Question

17．如圖，用與圓柱的母線成60°角的平面截圓柱得到的截口曲線是橢圓，則該橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由題意可知，橢圓的短軸長等于圓柱的底面直徑，由題意結(jié)合三角形中的邊角關(guān)系求得橢圓的長軸長，再由隱含條件求出半焦距，則橢圓的離心率可求．

解答 解：如圖，設(shè)圓柱的底面直徑為2R，
則橢圓的短軸長2b=2R，b=R．
又截面與圓柱的母線成60°角，
則2a=$\frac{2R}{sin60°}=\frac{2R}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}R$，
則a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}R$．
∴${c}^{2}={a}^{2}-^{2}=\frac{4}{3}{R}^{2}-{R}^{2}=\frac{{R}^{2}}{3}$，
∴$c=\frac{\sqrt{3}}{3}R$．
則橢圓的離心率為e=$\frac{c}{a}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}R}{\frac{2\sqrt{3}}{3}R}=\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查平面與圓柱的截線，考查橢圓的性質(zhì)，考查三角形中的邊角關(guān)系，是基礎(chǔ)題．