Question

7．以平面直角坐標系xOy的原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標系，曲線C在該極坐標系下的極坐標方程為ρ=4$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$）．
（1）求曲線C的直角坐標方程；
（2）設(shè)點P（x，y）在曲線C上，當x-y取得最小值時，求點P的極坐標．（ρ＞0，0≤θ＜2π）

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標方程為ρ²=4ρcosθ+4ρsinθ，能求出曲線C的直角坐標方程．
（2）利用圓的參數(shù)方程得$x-y=2\sqrt{2}（cosα-sinα）$+4=4sin（$α+\frac{3π}{4}$）+4，由此能求出當x-y取得最小值時點P的極坐標．

解答 解：（1）∵曲線C的極坐標方程為ρ=4$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$）=4cosθ-4sinθ，
∴ρ²=4ρcosθ-4ρsinθ，
∴x²+y²=4x-4y，即（x-2）²+（y+2）²=8．
（2）∵點P（x，y）在曲線C：（x-2）²+（y+2）²=8上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2\sqrt{2}cosα}\\{y=-2+2\sqrt{2}sinα}\end{array}\right.$，0≤α＜2π．
∴$x-y=2\sqrt{2}（cosα-sinα）$+4=4sin（$α+\frac{3π}{4}$）+4，
∴當$α+\frac{3π}{4}$=$\frac{3π}{2}$，$α=\frac{3π}{4}$時，x-y取最小值0，
此時$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2\sqrt{2}×cos\frac{3π}{4}=0}\\{y=-2+2\sqrt{2}sin\frac{3π}{4}=0}\end{array}\right.$，∴P（0，0），
∴ρ=0，$θ=\frac{π}{2}$，∴點P的極坐標P（0，$\frac{π}{2}$）．

點評 本題考查曲線的直角坐標方程的求法，考查點的極坐標的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意極坐標和直角坐標互化公式的合理運用．