20.過(guò)點(diǎn)M(-2,0)作直線l與雙曲線x2-y2=1交于A,B兩點(diǎn),以O(shè)A,OB為鄰邊作平行四邊形OAPB,求點(diǎn)P的軌跡方程.

分析 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),和雙曲線方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系,求出AB的中點(diǎn),可得P的軌跡方程;當(dāng)過(guò)M(-2,0)的直線l的斜率不存在時(shí),同樣滿足

解答 解:設(shè)直線l的方程為y=k(x+2),代入雙曲線x2-y2=1,可得(1-k2)x2-4k2x-4k2-1=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=$\frac{4{k}^{2}}{1-{k}^{2}}$,y1+y2=$\frac{4k}{1-{k}^{2}}$
∴AB的中點(diǎn)為($\frac{2{k}^{2}}{1-{k}^{2}}$,$\frac{2k}{1-{k}^{2}}$),
設(shè)P(x,y),則x=$\frac{4{k}^{2}}{1-{k}^{2}}$,y=$\frac{4k}{1-{k}^{2}}$
∴x2+4x-y2=0;
當(dāng)過(guò)M(-2,0)的直線l的斜率不存在時(shí),直線l的方程為x=-2,把x=-2代入雙曲線x2-y2=1得,A(-2,$\sqrt{3}$),B(-2,-$\sqrt{3}$),P(-4,0)同樣滿足.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系,直線與圓錐曲線的關(guān)系問(wèn)題,常用“設(shè)而不求的”解題方法,即利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系求得直線與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積,此題考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,是中檔題.

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10.若x1,x2,x3,…,xn的平均數(shù)為$\overline x$,則x1+a,x2+a,…,xn+a的平均數(shù)為(  )
A.$\overline x+a$B.$a\overline x$C.${a^2}\overline x$D.$\overline x+{a^2}$

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11.如圖,在圓O:x2+y2=4上取一點(diǎn)A(-$\sqrt{3}$,1),E、F為y軸上的兩點(diǎn),且AE=AF,延長(zhǎng)AE,AF分別與圓交于點(diǎn)MN.則直線MN的斜率為-$\sqrt{3}$.

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8.已知α,β∈($\frac{7π}{4}$,$\frac{9π}{4}$),則“tan2α>tan2β”是“3α>3β”的( 。
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件

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15.已知數(shù)列{an}滿足a1=-1,an=$\frac{-3{a}_{n-1}-8}{2{a}_{n-1}+5}$(n≥2).
(1)證明:數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}+2}$}是等差數(shù)列;
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn+12=bnbn+2(n∈N*),且b1=2,b4=16,求數(shù)列{(2n-1)anbn}的前n項(xiàng)和Sn

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5.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn(n∈N*),a1=1且Sn•Sn-1+$\frac{1}{2}$an=0.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求$\frac{1}{{S}_{1}{S}_{2}}$-$\frac{1}{{S}_{2}{S}_{3}}$+$\frac{1}{{S}_{3}{S}_{4}}$-$\frac{1}{{S}_{4}{S}_{5}}$+…+(-1)n+1$\frac{1}{{s}_{n{S}_{n+1}}}$.

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12.在△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若$\frac{2}{3}$bc=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{cosA}$,且cosC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$,則A=(  )
A.30°B.45°C.60°D.120°

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9.離心率為2的雙曲線M:x2-$\frac{{y}^{2}}{m}$=1(m>0)上一點(diǎn)P到左、右焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2的距離之和為10,則$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$等于(  )
A.12B.14C.16D.18

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10.已知直線l:mx-y-1=0(m∈R),圓C:x2-2x+y2-3=0.
(1)證明:不論m取任何實(shí)數(shù),直線l總于圓C相交;
(2)設(shè)直線l將圓C分割成的兩端圓弧的弧長(zhǎng)之比為λ,試探求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

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