Question

19．已知{a_n}是遞增的等差數列，a₂+a₅=16，且a₂-1，a₄-1，a₇+1成等比數列．
（1）求a_n；
（2）若{a_n}的前n項和為S_n，證明：$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）利用等差數列與等比數列的通項公式即可得出；
（2）S_n=n（n+2）．可得$\frac{1}{{S}_{n}}$═$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，利用“裂項求和”與不等式的性質即可得出．

解答 （1）解：設等差數列{a_n}的公差為d＞0，∵a₂+a₅=16，且a₂-1，a₄-1，a₇+1成等比數列．
∴2a₁+5d=16，$（{a}_{4}-1）^{2}$=（a₂-1）（a₇+1），即$（{a}_{1}+3d-1）^{2}$=（a₁+d-1）（a₁+6d+1），
化為11d²-8d-28=0，d＞0．
解得a₁=3，d=2．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
（2）證明：S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n（n+2）．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$＜$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式及其前n項和公式、“裂項求和”方法與不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．