Question

14．定義在R上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)是f′（x），若f（x）=f（2-x），且當(dāng)x∈（-∞，1）時，（x-1）f′（x）＜0，設(shè)a=f（$\frac{1}{e}$）（e為自然對數(shù)的底數(shù)）、b=f（$\sqrt{2}$）、c=f（log₂8），則（　�。�

• A． c＜a＜b
• B． a＞b＞c
• C． a＜b＜c
• D． a＜c＜b

Answer 1

分析 先由x∈（-∞，1）時，（x-1）f′（x）＜0，得函數(shù)f（x）在（-∞，1）上為增函數(shù)；又f（x）=f（2-x）得f（x）圖象關(guān)于x=1對稱，則 f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，然后將f（$\frac{1}{e}$），f（$\sqrt{2}$），f（log₂8）化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)比較即可．

解答 解：∵x∈（-∞，1）時，
∴（x-1）f′（x）＜0，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，1）上為增函數(shù)，
又∵f（x）=f（2-x），
∴f（x）圖象關(guān)于x=1對稱，
∴f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，
又∵a=f（$\frac{1}{e}$）=f（2-$\frac{1}{e}$），b=f（$\sqrt{2}$），c=f（log₂8）=f（3），
∴3＞2-$\frac{1}{e}$＞$\sqrt{2}$，
∴c＜a＜b．
故選：A．

點評 解題的關(guān)鍵為由f（x）=f（2-x）得函數(shù)圖象關(guān)于x=1對稱，以及利用導(dǎo)數(shù)符號確定函數(shù)的單調(diào)性，屬于常用解題技巧．